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Hola ataju! Intentaré aclararte tus cuestiones.
1.- Es correcto requerir del pago al deudor en el domicilio laboral, según establece el art. 813 LEC, en el lugar en que el deudor pudiera ser hallado, pero si este se encuentra en otro partido judicial, le corresponde al Juzgado de Primera Instancia de ese partido judicial.
2.- Cuando se dicta el auto que despacha ejecución en el monitorio, lógicamente se notificará en el mismo lugar o en el lugar donde pudiere ser hallado, o si no se pudiere realizar, se averiguaria su domicilio conforme a lo establecido en el art. 156 LEC, todo ello a instancia de la parte.
3.- Cuando se solicite la asistencia jurídica gratuita, una vez realizada la comparecencia para aportar la documentación requerida, en el plazo de diez dias, y aportando dicha documentación por parte del ejecutado, se dicta un auto que suspende las actuaciones, hasta que se le designe los profesionales, por lo que embargar y hacer averiguación de bienes durante ese espacio de tiempo no se realiza.
4.- En esta cuestión, creo que lo más lógico es que la parte presente una demanda de ejecución, de ese auto aprobando las costas, en la que se generaría nuevas costas e intereses.

De todas formas esta es mi opinión personal sobre estas cuestiones y espero haberte ayudado. Saludos.