Hola.
Parto del hecho de que el derecho no es lo mío, pero te lo puedo explicar grosso modo. Básicamente, un recurso de casación (del francés casser = romper) es un recurso extraordinario que se interpone en un tribunal superior contra sentencias firmes de tribunales inferiores por defectos de forma, doctrina legal o infracción de ley. El objetivo es reparar el supuesto error de la sentencia o la infracción cometida por ésta, de modo que se pueda subsanar ese perjuicio aplicando correctamente la ley, anulando la sentencia o, incluso, repitiendo el juicio. Por ejemplo, en un juicio el juez no tiene presentes o no admite pruebas que para el acusado son fundamentales para su defensa y que éste considera que vulneran su derecho a una defensa justa. Si la sentencia le es adversa, podría presentar un recurso de casación ante el tribunal competente, por lo común, el Tribunal Supremo o, en algunos casos, el Tribunal Superior de Justicia de su Comunidad Autónoma.
Ya no me meto con los diferentes tipos de recursos de casación (ordinario, en interés de ley o para la unificación de la doctrina), porque son aplicaciones específicas de dicho recurso para un aspecto concreto.
Espero que te haya servido de ayuda. Saludos.